sezione aurea, fibonacci,il numero 5

Eheh... che ci posso fare, Pitagora affascina, devo ancora scriverci su! :-)

In questo post ancora il numero 5 e la sezione aurea.
Già avevamo visto che nella scuola pitagorica il 5 era considerato l'unione del primo numero femminile (2) e del primo numero maschile (3), e come tale, il numero dell'amore e del matrimonio.

Sembra che i pitagorici avessero adottato il pentagono stellato o la Stella a cinque punte, quale simbolo del loro ordine, e che lo chiamassero «Salute».

Andiamo a vedere il perché dei punti (le lettere maiuscole) e delle uguaglianze (di rapporti) indicati in figura....
Il numero 5 ci conduce alle origini del rapporto aureo.
Il pentagono stellato si disegna tracciando tutte le diagonali possibili di un pentagono regolare fino ad ottenere una stella a 5 punte.
Da questa pagina riporto una chiara spiegazione
Dato un pentagono regolare ABCDE con lati uguali ed angoli uguali, tracciamo una diagonale BE che unisca due vertici qualsiasi del pentagono.
Se dividiamo la lunghezza della diagonale BE per la lunghezza di un lato AB, otterremo il valore
1,618... !
Se tracciamo ora una seconda diagonale AD all’interno del pentagono, ogni diagonale sarà divisa in due parti: il rapporto tra le due parti e tra la parte maggiore e l'intera diagonale sarà pari a PHI = 1,618....
Se tracciamo tutte le diagonali del pentagono, esse formeranno una stella a cinque punte o pentangolo al cui interno apparirà un pentagono invertito che sarà in rapporto aureo PHI con il primo pentagono...
Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica;a questa figura è stata attribuita per millenni un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea, da cui è nata.

Questo simbolo dunque, accompagnava gli iniziati ai misteri pitagorici durante tutta la giornata, dal momento in cui si alzavano, alle prime luci dell'alba, fino a sera quando si ritiravano nella propria stanza.
Esso si trovava pure nella sala dove gli iniziati consumavano i pasti frugali ed alla fine di ogni pasto, il più anziano ricordava ai fratelli le cinque regole fondamentali di “giusta vita” che corrispondevano ai cinque angoli del Pentagramma:

1. esiste una sottile magia che unisce tutti gli esseri viventi e rispetta tutto ciò che vive;
2. impara a nutrire solamente pensieri buoni;
3. vieni in aiuto alle leggi divine e combatti l'illegalità;
4. adora solamente gli altari incruenti e offri agli dei i profumi della natura;
5. studia attentamente i presagi, le profezie e tutti i segni spontanei e ricordati che nulla avviene per caso.

from matematicamente.blogspot.com

LA SEZIONE AUREA

LA SEZIONE AUREA


La sezione aurea è una delle costanti matematiche più antiche che esistano. È stata definita "sezione aurea", o rapporto aureo, proprio perché in architettura sembra essere il rapporto più estetico fra i lati di un rettangolo e si indica con Φ ( dalla lettera iniziale del nome greco dello scultore Fidia). Φ fu descritto da Keplero come uno dei "due grandi tesori della geometria"(l’altro è il teorema di Pitagora). Non c'è che dire: la sezione aurea è un numero "magico"! Non è altro che un semplice rapporto tra grandezze, ma è fondamentale oltre che in geometria, anche in botanica, fisica, zoologia, architettura, pittura e musica! Certo è strano il fatto che un numero “non misurabile”, o meglio irrazionale, ritorni così spesso in situazioni tanto concrete quanto diverse .
GEOMETRIA
† Il rapporto aureo fu introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono regolare (o come rapporto tra il lato del pentagono stellato, simbolo dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare con gli stessi vertici).
† Il rapporto aureo è definito come il rapporto tra due lunghezze a e b tale che (a+b):a = a : b. Chiamando x il rapporto ba , abbiamo aba+= 1+ x1 da cui l’equazione x2 = x +1 di radici x1 = Φ = =25+1=1,61803398874989484820458683436564… e x2 = -Φ1 = 25−1 . può essere rappresentato come frazione continua infinita e radice continua infinita con soli 1. Φ
† Si dice sezione aurea del segmento AB il segmento AC, con C compreso tra A e B, medio proporzionale tra l'intero segmento AB e la parte rimanente CB, ossia AB:AC = AC:CB.
Più precisamente un segmento è diviso in due parti secondo la sezione aurea se il rapporto tra le lunghezze delle parti è . Φ
† Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiamiamo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi si divida il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' si disegni un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Con una squadra si costruisca il segmento CB perpendicolare ad DF ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea.
ARCHITETTURA
Pare che questo rapporto fosse noto fin dai tempi degli egizi, poiché si ritrova nello studio delle dimensioni della piramide di Cheope.
Analoghe proporzioni si riscontrano ripetutamente anche sul Partenone di Atene e su archi classici.
PITTURA
La sezione aurea è anche stata usata ampiamente in pittura: in molti quadri, soprattutto nel Rinascimento, questa proporzione veniva usata moltissime volte all'interno dell'opera. Si dice, ad esempio, che nella rappresentazione di un panorama l'orizzonte debba dividere l'altezza del quadro secondo la sezione aurea, per ottenere un risultato più soddisfacente.
La sezione aurea, in quanto legge strutturale del corpo umano,ha conosciuto in Leonardo da Vinci (1452-1519) un geniale assertore, infatti in moltissime sue opere si può ritrovare il rettangolo aureo. Ne “L’uomo vitruviano” Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.
Anche alcuni artisti moderni, come Piet Mondrian (1872-1944), utilizzano il rettangolo aureo nelle loro opere. In questo quadro è ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di quadrati e rettangoli aurei.
NATURA
La sezione aurea è strettamente legata alla successione di Fibonacci, che si compone di una sequenza di numeri 1,1,2,3,5,8,13,21,34… in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. Curioso il fatto che il rapporto tra due termini successivi tenda al valore della sezione aurea. I numeri di Fibonacci si ritrovano in natura, nel numero delle spirali dei semi del girasole, dei petali di alcuni fiori, delle scaglie dell’ananas…